集合論における「積」と等価性の論理の内部

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概要

1. 謝辞と序論

2. 普遍的性質

3. 実践における積

4. 代数幾何学における普遍的性質

5. グロタンディークの等号の使用に関する問題

6. 「標準的な」写像についてさらに

7. より高度な数学における標準的同型

8. 要約と参考文献

普遍的性質

数学の基礎として妥当な3つの分類があると認識しています：集合論に基づくもの、型理論に基づくもの、そして圏論に基づくものです。また、大まかに言えば、これらの基礎は同じ定理を証明できるという様々な結果もあります。しかし、等号についての議論を行うためには、私たちが話していることを正確に特定する必要があり、そのため私はZFC集合論と古典論理を議論の基礎として選びます。1

この決定の根拠は単純に、もし数学者が自分の専門分野の論理的基礎についての授業に参加したことがあるなら（そして多くの人はそうしていませんが）、それはおそらく集合論の授業だったであろうということです。さらに、純粋数学の文献は表面的には集合論的なスタイルで書かれています：群は構造と公理を持つ集合であり、多様体は異なる構造と公理を持つ集合である、などと教えられます。ここでの「集合」という言葉は、「原子の集まり」という考え方のプレースホルダーに過ぎません。

等しい二つの集合が同じ要素を持つことは明らかです。これは、等号に関する代入原理と呼ばれるものから導かれます。この原理は、XとYが等しい二つの数学的対象であれば、Xについて基礎システムで主張できることはYについても真であるということを述べています。逆に、同じ要素を持つ二つの集合が等しいということは、理論の公理として課されています。これにより、集合の抽象的概念が、それが表現しているものについての私たちの心的モデルと一致することが保証されます：集合はモノの集まり以上でも以下でもありません。

ここで、数学的対象を一意に特徴づける性質の議論を始めたいと思います。例から始めましょう：二つの集合XとYの積X × Y。次の数段落で、XとYの積という概念と、XとYの一つの積という概念の間に非常に慎重な区別をすることを読者に警告しておきます。二つの集合の積X × Yは、x ∈ XかつyY ∈ Yである順序対(x, y)の集合として定義されます（集合論の公理を使用してこの集合を作成できることを確認できます）。

ここで、実数で以前に見たのと同じ問題に遭遇することに注意してください：集合論では順序対の概念を定義するためのいくつかの異なる方法があります。集合論は非順序対をうまく扱うように設計されています：集合{x, y}と{y, x}は同じ要素を持ち、したがって等しいので、順序対を定義するにはある種のハックを使用する必要があります。

順序対に関するWikipediaのページ[Wik04b]は現在、ウィーナー（{{{x}, ∅}, {{y}}}）、ハウスドルフ（{{x, 1}, {y, 2}}）、クラトフスキー（{{x}, {x, y}}）による3つの異なる構成を示しています。これらはすべて少し人為的な印象を与えます。2 数学者たちは、この問題が実際には全く重要ではないことをよく認識しています：私たちが知る必要があるのは順序対の定義的性質だけであり、それは(x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2かつy1 = y2ということです。これが私たちが必要とするすべてであり、すべての定義はこの性質を満たしています。

積X × Yには、2つの射影写像π1 : X × Y → XとπY : X × Y → Yが備わっています。厳密に言えば、積だけでなく、三つ組(X × Y, π1, π2)が以下の普遍的性質を満たします：

積の普遍的性質： 三つ組(P, π1 : P → X, π2 : P → Y)がXとYの積と呼ばれるのは、次の性質を満たす場合です：任意の集合Sと関数f : S → XおよびgS : S → Yに対して、π1との合成がfであり、π2との合成がgであるようなSからPへの一意の関数が存在します。

普遍的性質は二つの集合の積の定義ではありません。それは積が満たす必要のある無限に多くの事実（集合Sと関数fとgの各選択に対して一つ）と考えることができます。自然な射影を備えたXとYの積X × Yが積であることを検証するのは難しくありません。しかし、逆は全く真ではありません：典型的には、積であるという性質を満たすが積ではない他の多くの三つ組(P, π1, π2)が存在します。

例えば、X = {37}とY = {42}の場合、積X × Yは{(37, 42)}ですが、実際には1つの要素を持つ任意の集合Pに、すべてを37に送るπ1 : P → Xとすべてを42に送るπ2 : P → Yを備えれば、積であるという普遍的性質を満たします。特に、一般的には積であるという性質を満たす数え切れないほど多くの異なるものが存在します。しかし、数学者はこれらの異なるものを識別することに非常に長けています。それらは=記号の正しい使用法を超えた方法で「同じ」なのです。これは普遍的対象に対する一意性のヨガのおかげでできることです。この形式的な圏論的ナンセンスである、このヨガを積の場合に見ていきましょう。

P1とP2の両方がXとYの積であるとします。P2の普遍的性質の存在部分（XとYへの射影を持つ）を集合S = P1（XとYへの射影を持つ）に適用すると、XとYへの射影と可換な関数α : P1 → P2が得られます。議論の中で1と2を入れ替えることで、射影と可換な関数β : P2 → P1も構成できます。さらに、β ◦ αはP1からP1への射影と可換な写像であり、恒等関数も同様です。P1の普遍的性質の一意性部分をP1に適用することにより、β ◦ αはP1上の恒等写像でなければならないと推論します。同様に、α ◦ βはP2上の恒等写像でなければなりません。

したがって、αとβは射影写像と可換な全単射です。最後に、P2の普遍的性質の一意性部分をP1に適用すると、αは射影と可換なP1からP2への一意の写像であることがわかります。対称性により、βは射影と可換なP2からP1への一意の写像です。この抽象的なナンセンス（集合の要素には言及せず、対象と射だけに言及した）の結果は、P1とP2の間には因子XとYへの射影と可換な一意の相互逆全単射が存在するということです。

特に、PがXとYの積である場合、それは射影と互換性のある方法でXとYの積X × Yと一意に同型です。1要素の例X = {37}とY = {42}では、Pが任意の1要素集合である場合、PからX × Yへの一意の写像はもちろん要素を(37, 42)に送ります。

:::info 著者： KEVIN BUZZARD

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:::info この論文は arxivで入手可能 でCC BY 4.0 DEEDライセンスの下にあります。

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